\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第十二章\quad 无穷级数}
\renewcommand{\mysubtitle}{第三节\quad 幂级数}
\graphicspath{{./images}}

\begin{document}

\section{函数项级数的概念}

\begin{frame}{函数项级数的概念}

如果给定一个定义在区间 $I$ 上的函数列
\[
u_{1}(x), u_{2}(x), u_{3}(x), \cdots, u_{n}(x), \cdots,
\]
那么由这函数列构成的表达式
\[\tag{3-1}
u_{1}(x)+u_{2}(x)+u_{3}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots
\]
称为定义在区间 $I$ 上的 (\emph{函数项}) \emph{无穷级数}， 简称 (\emph{函数项}) \emph{级数}。

~

\pause
对于每一个确定的值 $x_{0} \in I$, 函数项级数 (3-1) 成为常数项级数
\[\tag{3-2}
u_{1}\left(x_{0}\right)+u_{2}\left(x_{0}\right)+u_{3}\left(x_{0}\right)+\cdots+u_{n}\left(x_{0}\right)+\cdots .
\]
这个级数 (3-2) 可能收敛也可能发散。 
\pause
如果级数 (3-2) 收敛， 就称点 $x_{0}$ 是函数项级数 (3-1) 的\emph{收敛点}; 如果级数 (3-2) 发散， 就称点 $x_{0}$ 是函数项级数 (3-1) 的\emph{发散点}。 
\pause
函数项级数 (3-1) 的收敛点的全体称为它的\emph{收敛域}，发散点的全体称为它的\emph{发散域}。
\end{frame}
\begin{frame}
  对应于收敛域内的任意一个数 $x$, 函数项级数成为一收敛的常数项级数， 因而有一确定的和 $s$. 
\pause
  这样， 在收敛域上， 函数项级数的和是 $x$ 的函数 $s(x)$, 通常称 $s(x)$ 为函数项级数的\emph{和函数}， 这个函数的定义域就是级数的收敛域， 并写成
\[
s(x)=u_{1}(x)+u_{2}(x)+u_{3}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots=\sum_{i=1}^{\infty} u_{i}(x) .
\]
\pause
把函数项级数 (3-1) 的前 $n$ 项的部分和记作 $s_{n}(x)$, 则在收敛域上有
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}(x)=s(x) .
\]
\pause
记 $r_{n}(x)=s(x)-s_{n}(x), r_{n}(x)$ 叫做函数项级数的\emph{余项} (当然， 只有 $x$ 在收敛域上 $r_{n}(x)$才有意义), 并有
\[
  \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n}(x)=0.
\]
\end{frame}


\section{幂级数及其收敛性}

\begin{frame}{幂级数及其收敛性}

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是常数乘幂函数的函数项级数，即所谓\emph{幂级数}， 它的形式是%
\footnote{幂级数的一般形式是 $a_{0}+a_{1}\left(x-x_{0}\right)+a_{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\cdots$. 只要作代换 $t=x-x_{0}$, 就可以把它化成 (3-3) 的形式。 所以取 (3-3) 式来讨论，并不影响一般性。}%
\[\tag{3-3}
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}+\cdots,
\]
其中常数 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots$ 叫做\emph{幂级数的系数}。 
\pause
例如
\[
  \begin{gathered}
  1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots \\
1+x+\frac{1}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} x^{n}+\cdots
\end{gathered}
\]
都是幂级数。

~

\pause
现在我们来讨论：对于一个给定的幂级数，它的收敛域与发散域是怎样的? 即 $x$取数轴上哪些点时幂级数收敛， 取哪些点时幂级数发散? 这就是幂级数的收敛性问题。
\end{frame}

\begin{frame}

先看一个例子。 考察幂级数
\[
1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots
\]
的收敛性。 
\pause
由第一节例 1 知道， 当 $|x|<1$ 时，这级数收敛于和 $\frac{1}{1-x}$; 当 $|x| \geqslant 1$ 时， 这级数发散。 
\pause
因此， 这幂级数的收敛域是开区间 $(-1,1)$, 发散域是 $(-\infty,-1]$ 及 $[1,+\infty)$,并有
\[
\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots \quad(-1<x<1) .
\]

\pause
在这个例子中我们看到， 这个幂级数的收敛域是一个区间。 事实上， 这个结论对于一般的幂级数也是成立的。 
\pause
我们有如下定理：

\begin{theorem}[阿贝尔 (Abel) 定理]
  如果级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 当 $x=x_{0} \quad\left(x_{0} \neq 0\right)$ 时收敛，那么适合不等式 $|x|<\left|x_{0}\right|$ 的一切 $x$ 使这幂级数绝对收敛。 反之， 如果级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 当 $x=x_{0}$时发散，那么适合不等式 $|x|>\left|x_{0}\right|$ 的一切 $x$ 使这幂级数发散。
\end{theorem}

\pause
Abel 定理 表明，如果幂级数在 $x=x_{0}$ 处收敛，那么对于开区间 $\left(-\left|x_{0}\right|,\left|x_{0}\right|\right)$ 内的任何 $x$, 幂级数都收敛; 
\pause
如果幂级数在 $x=x_{0}$ 处发散，那么对于闭区间 $\left[-\left|x_{0}\right|,\left|x_{0}\right|\right]$外的任何 $x$, 幂级数都发散。


\end{frame}

\begin{frame}
\begin{proof}[Abel 定理的证明]
  先设 $x_{0}$ 是幂级数 $(3-3)$ 的收敛点， 即级数
  \[
  a_{0}+a_{1} x_{0}+a_{2} x_{0}^{2}+\cdots+a_{n} x_{0}^{n}+\cdots
\]
收敛。 根据级数收敛的必要条件， 这时有
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} x_{0}^{n}=0
\]
于是存在一个常数 $M$, 使得
\[
\left|a_{n} x_{0}^{n}\right| \leqslant M \quad(n=0,1,2, \cdots) .
\]
这样级数 (3-3) 的一般项的绝对值
\[
\left|a_{n} x^{n}\right|=\left|a_{n} x_{0}^{n} \cdot \frac{x^{n}}{x_{0}^{n}}\right|=\left|a_{n} x_{0}^{n}\right| \cdot\left|\frac{x}{x_{0}}\right|^{n} \leqslant M\left|\frac{x}{x_{0}}\right|^{n} .
\]
因为当 $|x|<\left|x_{0}\right|$ 时， 等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty} M\left|\frac{x}{x_{0}}\right|^{n}$ 收敛 $\left(\right.$ 公比 $\left.\left|\frac{x}{x_{0}}\right|<1\right)$, 所以级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_{n} x^{n}\right|$收敛，也就是级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 绝对收敛。

定理的第二部分可用反证法证明。 假设幂级数当 $x=x_{0}$ 时发散而有一点 $x_{1}$ 适合 $\left|x_{1}\right|>\left|x_{0}\right|$ 使级数收敛， 则根据本定理的第一部分， 级数当 $x=x_{0}$ 时应收敛， 这与假设矛盾。 定理得证。
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{wrapfigure}{r}{.4\textwidth}
  \centering
\includegraphics[max width=.4\textwidth]{2024_01_20_295afa09a60caa30a9eag-24}
\caption*{图 12-3}
\pause
\end{wrapfigure}
设已给幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)也有发散点。 
\pause
现在从原点沿数轴向右方走，最初只遇到收敛点， 然后就只遇到发散点。 
\pause
这两部分的界点可能是收敛点也可能是发散点。 
\pause
从原点沿数轴向左方走情形也是如此。 
\pause
两个界点 $P$ 与 $P^{\prime}$ 在原点的两侧，且由定理 1 可以证明它们到原点的距离是一样的 (图 12-3).

\pause
从上面的几何说明，得到下述重要推论：
\begin{corollary*}
如果幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 不是仅在 $x=0$ 一点收敛， 也不是在整个数轴上都收敛， 那么必有一个确定的正数 $R$ 存在， 使得：

当 $|x|<R$ 时，幂级数绝对收敛;

当 $|x|>R$ 时，幂级数发散;

当 $x=R$ 与 $x=-R$ 时，幂级数可能收敛也可能发散。
\end{corollary*}

\pause
正数 $R$ 通常叫做幂级数 (3-3) 的\emph{收敛半径}。 
开区间 $(-R, R)$ 叫做幂级数 (3-3) 的\emph{收敛区间}。 
\pause
再由幂级数在 $x= \pm R$ 处的收敛性就可以决定它的收敛域是 $(-R, R)$, $[-R, R),(-R, R]$ 或 $[-R, R]$ 这四个区间之一。

\pause
如果幂级数 (3-3) 只在 $x=0$ 处收敛， 这时收敛域只有一点 $x=0$, 但为了方便起见， 规定这时收敛半径 $R=0$; 如果幂级数 (3-3) 对一切 $x$ 都收敛， 则规定收敛半径 $R=+\infty$, 这时收敛域是 $(-\infty,+\infty)$. 这两种情形确实都是存在的， 见下面的例 2 及例 3.
\end{frame}

\begin{frame}
关于幂级数的收敛半径的求法， 有下面的定理。
\begin{theorem}
如果
\[
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho,
\]
其中 $a_{n}, a_{n+1}$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的相邻两项的系数， 那么这幂级数的收敛半径
\[
R= \begin{cases}\frac{1}{\rho}, & \rho \neq 0, \\ +\infty, & \rho=0, \\ 0, & \rho=+\infty .\end{cases}
\]
\end{theorem}
\pause
\begin{proof}
考察幂级数 (3-3) 的各项取绝对值所成的级数
\[\tag{3-4}
\left|a_{0}\right|+\left|a_{1} x\right|+\left|a_{2} x^{2}\right|+\cdots+\left|a_{n} x^{n}\right|+\cdots,
\]
这级数相邻两项之比为
\[
  \frac{\left|a_{n+1} x^{n+1}\right|}{\left|a_{n} x^{n}\right|}=\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right||x|.
\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{proof}[续]
  (1) 如果 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho \quad(\rho \neq 0)$ 存在， 根据比值审敛法， 那么当 $\rho|x|<1$ 即 $|x|<\frac{1}{\rho}$ 时， 级数 (3-4) 收敛， 从而级数 (3-3) 绝对收敛; 当 $\rho|x|>1$ 即 $|x|>\frac{1}{\rho}$ 时， 级数 (3-4) 发散并且从某一个 $n$ 开始
  \[
  \left|a_{n+1} x^{n+1}\right|>\left|a_{n} x^{n}\right|,
\]
因此一船项 $\left|a_{n} x^{n}\right|$ 不能趋于零， 所以 $a_{n} x^{n}$ 也不能趋于零， 从而级数 (3-3) 发散。 于是收敛半径 $R=\frac{1}{\rho}$.

（2）如果 $\rho=0$, 那么对任何 $x \neq 0$, 有 $\frac{\left|a_{n+1} x^{n+1}\right|}{\left|a_{n} x^{n}\right|} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$, 所以级数 (3-4) 收敛， 从而级数 (3-3) 绝对收敛。于是 $R=+\infty$.

(3) 如果 $\rho=+\infty$, 那么对于除 $x=0$ 外的其他一切 $x$ 值， 级数 (3-3) 必发散， 否则由定理 1 知道将有点 $x \neq 0$ 使级数 (3-4) 收敛。 于是 $R=0$.
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  求幂级数 $x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+\cdots$ 的收敛半径与收敛域。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
因为
\[
\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=1,
\]
所以收敛半径
\[
R=\frac{1}{\rho}=1
\]
对于端点 $x=-1$, 级数成为
\[
-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\cdots-\frac{1}{n}-\cdots,
\]
此级数发散;

对于端点 $x=1$, 级数成为交错级数
\[
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots
\]
此级数收敛。 因此， 收敛域是 $(-1,1]$.
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  求幂级数 $1+x+\frac{1}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} x^{n}+\cdots$ 的收敛域。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
因为
\[
\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{(n+1) !}}{\frac{1}{n !}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0
\]
所以收敛半径 $R=+\infty$, 从而收敛域是 $(-\infty,+\infty)$.
\end{solution}

\pause
\begin{example}
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} n ! x^{n}$ 的收敛半径 (规定 $0 !=1$ ).
\end{example}
\pause
\begin{solution}
因为
\[
\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1) !}{n !}=+\infty,
\]
所以收敛半径 $R=0$, 即级数仅在点 $x=0$ 处收敛。
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n) !}{(n !)^{2}} x^{2 n}$ 的收敛半径。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
级数缺少奇次幂的项， 定理 2 不能直接应用。 我们根据比值审敛法来求收敛半径：
\[
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{\frac{[2(n+1)] !}{[(n+1) !]^{2}} x^{2(n+1)}}{\frac{(2 n) !}{(n !)^{2}} x^{2 n}}\right|=4|x|^{2} .
\]
当 $4|x|^{2}<1$ 即 $|x|<\frac{1}{2}$ 时， 级数收敛; 当 $4|x|^{2}>1$ 即 $|x|>\frac{1}{2}$ 时， 级数发散。 所以收敛半径 $R=\frac{1}{2}$.
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{2^{n} \cdot n}$ 的收敛域。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
令 $t=x-1$, 上述级数变为
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n}}{2^{n} \cdot n}
\]
因为
\[
\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n} \cdot n}{2^{n+1}(n+1)}=\frac{1}{2},
\]
所以收敛半径 $R=2$. 收敛区间为 $|t|<2$, 即 $-1<x<3$.

当 $x=-1$ 时， 级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}$, 这级数收敛; 当 $x=3$ 时， 级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$, 这级数发散。 因此原级数的收敛域为 $[-1,3)$.
\end{solution}
\end{frame}

\section{幂级数的运算}

\begin{frame}{幂级数的运算}
设幂级数
\[
\begin{gathered}
a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}+\cdots,\\
b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\cdots+b_{n} x^{n}+\cdots
\end{gathered}
\]
分别在区间 $(-R, R)$ 及 $\left(-R^{\prime}, R^{\prime}\right)$ 内收敛，对于这两个幂级数， 可以进行下列四则运算：

\pause
\emph{加法}
\[
  \begin{aligned}
  & \left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}+\cdots\right)+\left(b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\cdots+b_{n} x^{n}+\cdots\right) \\
= & \left(a_{0}+b_{0}\right)+\left(a_{1}+b_{1}\right) x+\left(a_{2}+b_{2}\right) x^{2}+\cdots+\left(a_{n}+b_{n}\right) x^{n}+\cdots .
\end{aligned}
\]

\pause
\emph{减法}
\[
  \begin{aligned}
  & \left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}+\cdots\right)-\left(b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\cdots+b_{n} x^{n}+\cdots\right) \\
= & \left(a_{0}-b_{0}\right)+\left(a_{1}-b_{1}\right) x+\left(a_{2}-b_{2}\right) x^{2}+\cdots+\left(a_{n}-b_{n}\right) x^{n}+\cdots .
\end{aligned}
\]

\pause
根据收敛级数的基本性质 2 ,上面两式在 $(-R, R)$ 与 $\left(-R^{\prime}, R^{\prime}\right)$ 中较小的区间内成立。

\pause
\emph{乘法}
\[
  \begin{aligned}
  & \left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}+\cdots\right)\left(b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\cdots+b_{n} x^{n}+\cdots\right) \\
= & a_{0} b_{0}+\left(a_{0} b_{1}+a_{1} b_{0}\right) x+\left(a_{0} b_{2}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{0}\right) x^{2}+\cdots+\left(a_{0} b_{n}+a_{1} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{0}\right) x^{n}+\cdots .
\end{aligned}
\]
这是两个幂级数的柯西乘积。 
\pause
可以证明上式在 $(-R, R)$ 与 $\left(-R^{\prime}, R^{\prime}\right)$ 中较小的区间内成立。


\end{frame}

\begin{frame}
  \emph{除法}
\[
\frac{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}+\cdots}{b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\cdots+b_{n} x^{n}+\cdots}=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\cdots+c_{n} x^{n}+\cdots,
\]
这里假设 $b_{0} \neq 0$. 
\pause
为了决定系数 $c_{0}, c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}, \cdots$, 可以将级数 $\sum_{n=0}^{\infty} b_{n} x^{n}$ 与 $\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ 相
乘， 并令乘积中各项的系数分别等于级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 中同次幂的系数， 即得
\[
  \begin{aligned}
  & a_{0}=b_{0} c_{0}, \\
& a_{1}=b_{1} c_{0}+b_{0} c_{1}, \\
& a_{2}=b_{2} c_{0}+b_{1} c_{1}+b_{0} c_{2},
\end{aligned}
\]
由这些方程就可以顺序地求出 $c_{0}, c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}, \cdots$.

\pause
相除后所得的幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ 的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多%
\footnote{例如
\[
\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots
\]
级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=1+0 x+\cdots+0 x^{n}+\cdots$ 与 $\sum_{n=0}^{\infty} b_{n} x^{n}=1-x+0 x^{2}+\cdots+0 x^{n}+\cdots$ 在整个数轴上收敛， 但级数 $\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}$ 仅在区间 $(-1,1)$ 内收敛。
}。

\end{frame}


\begin{frame}
  关于幂级数的和函数有下列重要性质:
\begin{proposition*}[性质 1]
  幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上连续。
\end{proposition*}

\pause
\begin{proposition*}[性质 2]
  幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛域 $I$ 上可积， 并有逐项积分公式
  \[\tag{3-5}
  \int_{0}^{x} s(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}\left[\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} t^{n}\right] \mathrm{d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} a_{n} t^{n} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1} \quad(x \in I),
\]
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
\end{proposition*}

\pause
\begin{proposition*}[性质 3]
  幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛区间 $(-R, R)$ 内可导， 且有逐项求导公式
  \[\tag{3-6}
  s^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1} \quad(|x|<R),
\]
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
\end{proposition*}

\pause
反复应用上述结论可得： \emph{幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数 $s(x)$ 在其收敛区间 $(-R, R)$ 内具有任意阶导数。}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}$ 的和函数。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
先求收敛域。由
\[
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n+2}=1,
\]
得收敛半径 $R=1$.

\pause
在端点 $x=-1$ 处， 幂级数成为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}$, 是收敛的交错级数; 在端点 $x=1$ 处， 幂级数成为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}$, 是发散的。 因此收敛域为 $I=[-1,1)$.

\pause
设和函数为 $s(x)$, 即
\[
s(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}, \quad x \in[-1,1) .
\]
于是
\[
x s(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} .
\]
\end{solution}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
  利用性质 3 , 逐项求导， 并由
  \[
  \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots \quad(-1<x<1),
\]
得
\[
[x s(x)]^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x} \quad(|x|<1)
\]
\pause
对上式从 0 到 $x$ 积分， 得
\[
x s(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1-t} \mathrm{~d} t=-\ln (1-x) \quad(-1 \leqslant x<1) .
\]
\pause
于是， 当 $x \neq 0$ 时， 有 $s(x)=-\frac{1}{x} \ln (1-x)$. 
\pause
而 $s(0)$ 可由 $s(0)=a_{0}=1$ 得出， 也可由和函数的连续性得到
\[
s(0)=\lim _{x \rightarrow 0} s(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left[-\frac{1}{x} \ln (1-x)\right]=1 .
\]
\pause
故
\[
s(x)= \begin{cases}-\frac{1}{x} \ln (1-x), & x \in[-1,0) \cup(0,1), \\ 1, & x=0 .\end{cases}
\]
\end{solution}
\end{frame}
\end{document}
